$\int^{\pi/2}_0 \sin^2x\,dx = \int^{\pi/2}_0 \cos^2x\,dx = \dfrac{\pi}{4} \\$ $\int^\infty_0 \dfrac{\sin(px)}{x} \,dx = \left\{                  \begin{array}{l l l}                     \pi/2           & p > 0 \\                     ~0           & p = 0 \\                     -\pi/2       & p < 0 \\                 \end{array} \right.\\$ $\int^\infty_0 \dfrac{\sin^2px}{x^2}~dx = \dfrac{\pi\,p}{2}\\$ $\int^\infty_0 \dfrac{1 - \cos(px)}{x^2}~dx = \dfrac{\pi\,p}{2} \\$ $\int^\infty_0 \dfrac{\cos(px) - \cos(qx)}{x}~dx = ln\dfrac{q}{p} \\$ $\int^\infty_0 \dfrac{\cos(px) - \cos(qx)}{x^2}~dx = \dfrac{\pi(q-p)}{2}\\$ $\int^{2\pi}_0 \dfrac{dx}{a + b\,\sin x}   = \dfrac{2\pi}{\sqrt{a^2-b^2}} \\$ $\int^{2\pi}_0 \dfrac{dx}{a + b\,\cos(x)} = \dfrac{2\pi}{\sqrt{a^2-b^2}} \\$ $\int^\infty_0 \dfrac{\sin x}{\sqrt{x}}~ dx =                    \int^\infty_0 \dfrac{\cos x}{\sqrt{x}} dx =                    \sqrt{\dfrac{\pi}{2}} \\$ $\int^\infty_0 \dfrac{\sin^3x}{x^3}~ dx = \dfrac{3\pi}{8}\\$ $\int^\infty_0 \dfrac{\sin^4x}{x^4}~ dx = \dfrac{\pi}{3}\\$ $\int^\infty_0 \dfrac{\tan x}{x} ~dx = \dfrac{\pi}{2}\\$ $\int^{\pi/2}_0 \dfrac{dx}{a + b\,\cos x} = \dfrac{\arccos(b/a)}{\sqrt{a^2-b^2}}\\$ $\int^\pi_0 \sin (mx) \cdot \sin (nx)\,dx = \left\{                  \begin{array}{l l}                     0 & \quad m , n \text{ integers and } m\ne n \\                     \pi/2 & \quad m , n \text{ integers and } m = n                 \end{array} \right.\\$ $\int^\pi_0 \cos (mx) \cdot \cos (nx)\,dx = \left\{                  \begin{array}{l l}                     0 & \quad m , n \text{ integers and } m\ne n \\                     \pi/2 & \quad m , n \text{ integers and } m = n                 \end{array} \right.\\$ $\int^\pi_0 \sin (mx) \cdot \cos (nx)\,dx = \left\{                  \begin{array}{l l}                     0           & \quad m , n \text{ integers and } m + n \text{ odd} \\                     2m/(m^2 - n^2) & \quad m , n \text{ integers and } m + n \text{ even}                 \end{array} \right.\\$ $\int^{\pi/2}_0 \sin^{2m}x\,dx = \int^{\pi/2}_0 \cos^{2m}x\,dx =                  \dfrac{1\cdot3\cdot5\dots 2m-1}{2\cdot 4 \cdot 6 \dots 2m} \dfrac{\pi}{2}\\$ $\int^{\pi/2}_0 \sin^{2m+1}x\,dx = \int^{\pi/2}_0 \cos^{2m+1}x\,dx =                  \dfrac{2\cdot 4 \cdot 6 \dots 2m}{1 \cdot 3 \cdot 5 \dots 2m + 1}\\$ $\int^{\pi/2}_0 \sin^{2m+1}x\,dx = \int^{\pi/2}_0 \cos^{2m+1}x\,dx =                  \dfrac{2\cdot 4 \cdot 6 \dots 2m}{1 \cdot 3 \cdot 5 \dots 2m + 1}\\$ $\int^{\pi/2}_0 \sin^{2m+1}x\,dx = \int^{\pi/2}_0 \cos^{2m+1}x\,dx =                  \dfrac{2\cdot 4 \cdot 6 \dots 2m}{1 \cdot 3 \cdot 5 \dots 2m + 1}\\$ $\int^{\pi}_0 \sin^{2p-1}x\,\cos^{2q-1}x\,dx = \dfrac{\Gamma(p)\,\Gamma{q}}{2\,\Gamma(p+q)}\\$ $\int^\infty_0 \dfrac{\sin (px) \cdot \cos (qx)}{x} \,dx = \left\{                  \begin{array}{l l l}                     ~0       & p > q >0 \\                     \pi/2       & 0 < p < q \\                     \pi/4       & p = q > 0 \\                 \end{array} \right.\\$ $\int^\infty_0 \dfrac{\sin (px) \cdot \sin (qx)}{x^2} \,dx = \left\{                  \begin{array}{l l l}                     \pi\,p/2       & 0 < p \le q \\                     \pi\,q/2       & p \ge q > 0 \\                 \end{array} \right.\\$ $\int^\infty_0 \dfrac{\cos (mx)}{x^2 + a^2}dx = \dfrac{\pi}{2a}~e^{-ma}\\$ $\int^\infty_0 \dfrac{x\,\sin (mx)}{x^2 + a^2} dx = \dfrac{\pi}{2}~e^{-ma}\\$ $\int^\infty_0 \dfrac{\sin (mx)}{x\left(x^2 + a^2\right)} dx = \dfrac{\pi}{2a^2}~\left(1-e^{-ma}\right)\\$ $\int^{2\pi}_0 \dfrac{dx}{(a + b\,\sin x)^2} =                   \int^{2\pi}_0 \dfrac{dx}{(a + b\,\cos x)^2} =                 \dfrac{2\pi\,a}{(a^2 - b^2)^{3/2}} \\$ $\int^{2\pi}_0 \dfrac{dx}{1 - 2a\,\cos x + a^2} =                 \dfrac{2\pi}{1 - a^2}, ~ 0 < a < 1 \\$ $\int^{\pi}_0 \dfrac{x\,\sin x\,dx}{1 - 2a\,\cos x + a^2} = \left\{                 \begin{array}{l l l}                     \dfrac{\pi}{a}~ ln(1+a)     & |a| < 1 \\                     \pi \, ln(1 + \dfrac{1}{a})     & |a| > 1  \\                 \end{array} \right. \\$ $\int^{\pi}_0 \dfrac{\cos (mx)\,dx}{1 - 2a\,\cos x + a^2} = \dfrac{\pi a^m}{1 - a^2}, ~~ a^2 < 1\\$ $\int^\infty_0 \sin (ax^n)\,dx = \dfrac{1}{na^{1/n}}~ \Gamma(1/n)\,\sin \dfrac{\pi}{2n} , ~~ n > 1\\$ $\int^\infty_0 \cos (ax^n)\,dx = \dfrac{1}{na^{1/n}}~ \Gamma(1/n)\,\cos \dfrac{\pi}{2n} , ~~ n > 1\\$ $\int^\infty_0 \dfrac{\sin x}{x^p}~ dx = \dfrac{\pi}{2\,\Gamma(p)\, \sin (p\pi/2)}, ~~ 0 < p < 1\\$ $\int^\infty_0 \dfrac{\cos x}{x^p}~ dx = \dfrac{\pi}{2\,\Gamma(p)\, \cos (p\pi/2)}, ~~ 0 < p < 1\\$ $\int^\infty_0 \sin (ax^2)\,\cos (2bx) \, dx =                      \dfrac{1}{2} \sqrt{\dfrac{\pi}{2a}} \left(\cos\dfrac{b^2}{a} - \sin \dfrac{b^2}{a} \right)\\$ $\int^\infty_0 \cos (ax^2)\,\cos (2bx) \, dx =                      \dfrac{1}{2} \sqrt{\dfrac{\pi}{2a}} \left(\cos\dfrac{b^2}{a} + \sin \dfrac{b^2}{a} \right)\\$ $\int^\infty_0 \dfrac{dx}{1 + \tan^mx}~ dx = \dfrac{\pi}{4}$

---